📊 Statistik & Wahrscheinlichkeit

Zufallsvariablen & Streuung

Diskrete Variablen, Erwartungswerte und Streuungsmaße.

(a) Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion (pmf)

(b) Stetige Dichtefunktion (pdf)

Diskrete Zufallsvariablen

Definition: Erwartungswert & Durchschnitt

Der Erwartungswert $E(X)$ für eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der einzelnen Ereigniswerte multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses. Das ist dann der Durchschnittswert $\mu$ .

Bei einer diskreten Zufallsvariablen $X$ können wir jedem Ergebnis $x_i$ eine exakte Wahrscheinlichkeit zuweisen. Diese Wahrscheinlichkeit wird als Punktwahrscheinlichkeit bezeichnet: $Pr(X = x_i)$ .

Beispiel: Fairer Münzwurf

Kopf (1)

Zahl (0)

E[X] = (1 \cdot 0.5) + (0 \cdot 0.5) = 0.5

Beispiel: Fairer Würfel

E[X] = \sum x_i \cdot \frac{1}{6} = 3.5

Erkennungsmerkmale von Verteilungen

1. Text-Kontext

Definition im Begleittext (z.B. „Würfel”).

2. Wertebereich

Menge der Ergebnisse $\{x_i\}$ .

3. Tilde-Notation

Kurzschrift $X \sim \text{Verteilung}$ .

Standardabweichung ( $\sigma$ )

Was sagt $\sigma$ eigentlich aus?

Während $\mu$ sagt, wo die „Mitte” ist, beschreibt $\sigma$ die Streuung. In der KI ist $\sigma$ oft ein Maß für Unsicherheit oder Vielfalt.

Kleines $\sigma$

Die Daten liegen alle sehr nah am Durchschnitt. Ein Modell ist sich hier sehr „sicher”, da die Ergebnisse einheitlich sind.

Großes $\sigma$

Die Daten sind weit verstreut. Es gibt große Unterschiede oder hohe Unsicherheit bei der Vorhersage.

Schritt 1: Der Kern

Abstand jedes Wertes $X$ vom Mittelwert $\mu$ : $(X - \mu)$

Schritt 2: Die Quadrierung

Verhindert Aufhebung und gewichtet Ausreißer: $(\dots)^2$

Schritt 3: Der Operator $E[\dots]$ (Summe)

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{k} \underbrace{(x_i - \mu)^2}_{\text{Quadrat-Abstand}} \cdot \underbrace{Pr(X = x_i)}_{\text{Gewichtung}}}

Schritt 4: Die Korrektur

Die Wurzel $\sqrt{\dots}$ bringt uns zurück auf die ursprüngliche Einheit.

Die vollständige Definition

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \mu)^2 \cdot Pr(X = x_i)}

Standardabweichung = Wurzel aus dem Erwartungswert der quadrierten Abweichungen.

Zusammenfassung der Formeln

Erwartungswert

E[X] = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot Pr(X = x_i)

Der gewichtete Durchschnittswert aller Realisierungen.

Varianz

Var(X) = E[(X - E[X])^2]

Ein Maß für die Streuung um den Erwartungswert.